抜き打ちテストのパラドックスについて

杉並太郎

はじめに矛盾ありき……

Ａ．問題
　森下先生の提示された問題

　ある大学で月曜日から金曜日までの講義があって、その講義に関して次のような告知が張り出された――
１．いずれかの日にテストを行なう。
２．どの日にテストを行なうかは、当日にならなければわからない。

　これは「パラドックス」という本からの引用なのでこういう形になっているようだ。しかし、１、２というように条件を分けて書いているにも拘わらずそれ以外の部分にも条件が含まれている。それ以外にも今日がいつなのかわからないという問題もあるので、本質的には同じ内容を指すようにこう書き直すべきだろう。

　次のように書かれた告知が張り出された。
１．来週の月曜から金曜までの間に１回だけテストを行う。
２．どの日にテストを行うかは、当日にならなければわからない。

　もちろんこれでも「わかる」とはどういうことかという曖昧性が残るが、それはこの問題の本質に関わると考える人もいるようなのでそのまま曖昧にしておく。
　今日がいつかは本質的ではないかもしれない。しかし、もとの「パラドックス」という本をちらりと見たときには、集中講義と書かれていた。告知が張り出されたのが集中講義のある週の月曜日だとするとやや問題がある。もちろん、集中講義もテストも終わってから張り出されたとするともっと問題である。

　この問題にはいくつかのバリエーションがある。その一つは死刑囚のパラドックスと呼ばれるもので、次のような内容だったと思う。

　ある国では裁判で死刑が確定してから十日以内に死刑を執行しなければならない。その十日間のいつ死刑が行われるかを死刑囚に知られてはならない。

　この他に、日付を用いることが誤解を生じると思ったのか、箱を使った同様のパラドックスがある。記憶のとおりなら次のとおり。

　ここに八つの箱がある。この中のどれかはびっくり箱になっている。君は端から順番に箱を開けていかなければならない。君は箱を開けてビックリするだろう。

　ちょっと記憶が曖昧だがだいたいこんなもの。箱の問題ももっと厳密に書くことはできるはずだが、ここでは例として出しただけなので問題の厳密化はしない。

B．パラドックス
　この最初の問題に対してのパラドックスは次の部分にある。これも森下先生からの引用。

　この告知を見て、ある学生は「このテストは実施できない」と喝破して、テスト勉強の必要はないと主張した……というもの。学生がそう判断した理由は、「金曜日にはテストがない。なぜなら、木曜日までにテストがなければ、金曜日にテストがあることが前もってわかるから。これは告知の〈2〉に矛盾する」。同様の理由で、木曜も水曜も……テストは行なわれないことがわかる。

　これも箇条書きに書くと、

１．木曜の夜になったとすると、残り一日しかないので残りの金曜日にテストがあることがわかる。したがって前もってわからないという〈２〉の条件に反する。
２．このことから金曜日にはテストがないことがわかる。
３．金曜日にテストがないということから木曜日がテストの可能な最後の日になる。
４．以上の推論を繰り返すとテストは行われない。

　というようになる。もっと引き伸ばそうと思ったがこうやって書くと既に明らかではない。しかし、気が付かないふりをして引き伸ばそう。

C．教授の悩み。
　このテストをする教授は悩んでいた。なにが問題かというと、

2. どの日にテストを行うかは、当日にならなければわからない。

　これが問題である。学生には分からないと書くべきだったのだ。こうなった以上、自分にもいつテストを行うか分からないようにしなければならない。
　幸いにもテスト問題はもう作ってある。教授はみかけの同じ箱を五つと、重さの同じボールを五つ用意した。ちょうど孫娘が同じ大きさのボールを幾つも持っていたのでそれを借りることにした。使うボールは四個が白で一個が赤である。そのボールを適当に箱に入れてくれるように孫娘に頼んだ。毎朝、箱を一つ選んでテスト用紙とともに教室に持っていき、教室で箱を開けて赤いボールだったらテスト用紙を配ってテストを行い、白いボールだったらテストをしないでテスト用紙を持ち帰るのである。
　しかし教授はまだ悩んでいた。孫娘が赤いボールで遊んでいるのを見かけたのである。はたして孫娘はちゃんと赤いボールを箱に入れてくれたであろうか？　赤いボールがお気に入りで白と交換したりしていないだろうか。

D．学生の策略。
　パラドックスを提唱したある学生の話を聞いた別の学生は考えた。あいつの言うことはもっともらしいが、どうもあやふやな点がある。授業中も突然変な意見を言って教授に論破されているではないか。
　もっと確実な方法を取るべきではないか。そこで友達を集めて相談した。そもそも期間が指定されているのだから、どの日かは 1/5の確率である。ちょうど五人集まっていたので、来週教授が教室に入ってきたら、順番に今日テストがあることを知っているというのだ。知っていると言われたら教授はテストをするわけにはいかないだろう。

E．大学事務局の都合。
　……もう引き伸ばしはいいか。

F．読者への挑戦状。
　引き伸ばしはもういいって言ってるのに。

G．解決編。
(以下の部分は他の説の影響を受けながらも、杉並が独自に考えたものである。その正当性は読者自身が確かめなければならない。 )
　まず、問題とそこから発生するパラドックスをもう一度書こう。ただし参照用に番号を変える。

問題：
　次のように書かれた告知が張り出された。
１．来週の月曜から金曜までの間に１回だけテストを行う。
２．どの日にテストを行うかは、当日にならなければわからない。

学生の主張：
３．木曜の夜になったとすると、残り一日しかないので残りの金曜日にテストがあることがわかる。したがって前もってわからないという〈２〉の条件に反する。
４．このことから金曜日にはテストがないことがわかる。
５．金曜日にテストがないということから木曜日がテストの可能な最後の日になる。
６．以上の推論を繰り返すとテストは行われない。

　解決はもちろん学生の主張が間違っている。それは〈４〉の部分である。
〈３〉の部分は木曜日までにテストが行われていなければ矛盾が起こると言っている。これは正しい。この問題では抜き打ちテストの期間は５日間だったが、期間を１０日にしても本質的なところは変わらない。しかし、期間１日の抜き打ちテストは矛盾なのである。
　しかし、矛盾が起こるからと言ってテストが出来ないとは言えない。テストをしなければ〈１〉に反するのである。
　明らかなことは金曜日がテストなら掲示板に書かれたことと矛盾するということだけである。
　しかし、数学などでは背理法といって矛盾があった場合は仮定が間違っていたとなる。間違っていた仮定として「木曜までにテストが行われなかった」を取り上げ、それが間違っていたと考えるならば、「木曜までにテストが行われた」ことになる。
　しかしながら、間違っていた仮定の候補はもう一つある。それは掲示された〈１〉、〈２〉の組である。
　ここで〈２〉で「わかる」という意味をきびしく解釈して「試験の日にちを指定することが出来る」と考えてみよう。すると、掲示がなされた時点で学生は1/5の確率で日にちを指定することができる。また、木曜日の夜までにテストが行われなかった場合でも「テストは金曜日」というように「わかる」。
　つまりでたらめに日にちを言う人にとっても掲示〈１〉〈２〉は矛盾しているのである。占いや啓示によってテストの日を既に知っている人もいるのだ。
　でたらめに日にちを言う人でも木曜の夜なら「テストは金曜日」と100%の確率で言うのである。残りの期間が短くなるにつれて確率は高くなるのだから。それは推論をする人がその日までにテストが行われなかったという情報を使って推論するのと同じことである。
　だいたい我々は日頃から「完全に正しいことなどない」などと知ったようなことを言っているではないか。
　従って抜き打ちテストのパラドックスの結論はこうまとめられる。

　掲示された〈１〉〈２〉の組は1/5だけ矛盾している。

　この結論は、期間一日の抜き打ちテストが出来ないこと。（この場合は1/1つまり100%矛盾していることになるから）。抜き打ちテストの「抜き打ち度」というものがあるとすれば、それは指定した期間が長ければ長いほど高くなるはずだ。期間が長くなれば掲示の正しさは増すのである。
　これがパラドックスに見えるのは4/5だけ正しい掲示〈１〉〈２〉が完全に正しいように感じられるからであろう。

　さて、掲示〈１〉〈２〉は1/5の矛盾であるから、予定期間のうち4/5は矛盾なくテストが行える。従って教授は最初の四日間にテストを行えばよい。木曜日には矛盾なくテストが行えるのだ。水曜の夜には1/2の確率で「木曜にテストがある」と当てられるし、心理を読む学生には「ほぼ確実に木曜にテストがある」と思われるだろう。だが、教授はCで挙げたように確率的にテストの日を決めているかも知れない。その可能性がある以上、学生がいくら頭を使ってもそれは心理を読んでいることになるのである。

……かくしてすべてが証明された。

注1）「初めに矛盾ありき、かくしてすべてが証明された」はむかし聞いたある種の冗談です。
注2）このパラドックスについては日記も参照してください。また違うことを言っていたりする。
注3）1/5だけ矛盾しているという代わりに、最終日前夜になると掲示が矛盾するというように時間の概念を持ち込んだ説明も可能。今回の部分的に矛盾しているという説明とある時点において（これは本当は時間というよりも試験が行われなかった日が確定したことによるのだが）掲示の言明が矛盾するようになるという説明とどちらがいいか迷ったのだが、でたらめをいう学生との関連で部分的に間違っているという説明が気に入ったのでこちらを公式見解とする。なお、ある時点において矛盾するようになるという説明については、でたらめを言う学生の代わりに、ジグソーパズルの最後の一片という例を考えていたのだが、今回の話の展開からはそっちに流れていかなかった。残念なことである。

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